Коротко этот закон может сформулировать даже школьник: каждое действие имеет противодействие. То же самое утверждают и Веды: «На каждое наше действие, будь то мысль, чувство, слово или физическое действие, у Вселенной есть определенное противодействие, а награда - это или наказание - зависит от поступка. И если в обычной жизни человек может так и не дождаться награды или наказания от правительства, органов правосудия, окружающих людей - так как они сами находятся под влиянием этого закона, то на вселенском уровне за соблюдением этого закона следит сам Творец. «Даже травинка не шелохнется без воли Бога». Именно закон кармы и формирует судьбу человека.

Что такое судьба и откуда она берется?

Я надеюсь, что каждый читатель задумывался над вопросами: «Кто я? Почему я родился в этом месте и в этой семье?», «В чем смысл моей жизни?», «За что я страдаю?» - именно с этих вопросов и начинается по-настоящему человеческая жизнь. Если же человек думает только о том, как поесть, поспать, совокупиться и защитить себя, то он ничем не отличается от животного.

У каждого человека есть судьба - рождается младенец, и у него есть линия жизни, есть натальная карта, которая позволяет без труда определить основные вехи судьбы. Я помню, как в марте 1994 года побывал в небольшом городке под Мадрасом (Южная Индия), где в храме Вишну два брахмана (жреца, священнослужителя), глядя на Раши (натальная карта, сделанная по индийской системе) и на линии на руках, рассказывали вам вашу судьбу: кто вы, из какой страны, как прошло ваше детство, каково ваше семейное и материальное положение, что вас ждет и т. д. и т. п. - с точностью до 90 процентов. И по большому счету, это не так уж трудно.

У меня на курсах студенты уже через несколько месяцев обучения могут сказать, например, как у человека сложится семейная жизнь в этом воплощении. Есть очень много великих людей (да и не великих, кстати, тоже), которым еще в детстве предсказали их судьбу: это Александр Македонский, А. С. Пушкин, президент Кеннеди и другие. Также все знают, что во все времена были великие провидцы, такие, как Ванга и Нострадамус, которые с большой точностью предсказывали будущее. Все это полностью опровергает взгляды тех ученых, которые считают, что все в этом мире случайно. Но будущее, которое предсказано с точностью хотя бы в несколько процентов, уже не случайно.

Также это, мягко говоря, дополняет современную христианскую доктрину (я подчеркиваю: современную, так как первые триста лет христиане верили в реинкарнацию. И лишь на одном из первых вселенских соборов трактат о переселении души был исключен - это исторический факт). Спросите любого христианского проповедника: «Почему есть дети, которые умирают тяжелой смертью, и куда они идут?», «Почему один рождается в семье миллионера и не знает, что такое болезни, а кто-то рождается в бедной семье и всю жизнь страдает?» Но если мы примем концепцию о переселении душ и закон кармы, то все встанет на свои места. Ведь врачей мы тоже получаем в соответствии со своей судьбой. Я пишу эту статью буквально во время операции, которую делают моей дочери.

Операция очень серьезная, сложнее бывает только пересадка сердца. И это также лишний раз напоминает мне о законе кармы. Еще шесть лет назад известные ведические астрологи в Москве, разбирая мою жизнь и кармические задачи (у нас такое правило, что мы »ведем» друг друга), сказали мне, что в предыдущей жизни я совершил то-то и то-то, и в этой у меня родится девочка с больным сердцем. И мне ничего не оставалось, как признать, что такая уже родилась. И хотя все врачи говорили в один голос - она проживет максимум 3-4 года, я, зная ее судьбу, был другого мнения. И на данном этапе (как, впрочем, и раньше, и в будущем) она живет в соответствии с судьбой и Высшей Волей, а не в соответствии с мнением врачей.

Как, впрочем, и каждый из нас.

Классификация кармы - из первоисточников. Сейчас я бы хотел дать описание закона кармы - так или почти так, как это давалось непосредственно в первоисточниках в Ведах. Так как сейчас слово «карма» известно, и разные люди, произнося его, вкладывают в него разный смысл.

Появилось много «специалистов» по карме, которые утверждают, что могут «почистить» вашу карму, не зная при этом, что же подразумевается под словом «карма». Карма - значит «действие» (санскрит).

Она включает в себя следующие понятия:

• санчита - карма, накопленная в предыдущих жизнях;
• прарабдха - часть аккумулированной кармы, определенная для нынешнего воплощения;
• крийяман - карма, создаваемая нами в настоящей жизни;
• агами - карма будущих воплощений, если теперешнее не последнее.

Есть также викарма, она включает в себя:

• антиродительскую карму;
• антисемейную карму;
• антисоциальную карму;
• античеловеческую карму.

Акарма: Тот, кто достиг определенного уровня любви к Богу, уже не имеет обязанностей, однако его карма остается. Достичь акармы можно, занимаясь своей деятельностью с полной непривязанностью, без стремления к результатам, с любовью.

Результаты этих видов кармы различные:

• акарма ведет к спасению;
• викарма - к наказанию свыше, череде ужасных воплощений и бесконечным страданиям;
• карма может вести к акарме и викарме .

Элемент акармы ведет к спасению, а элемент викармы - к рабству. Карма, таким образом, содержит четыре элемента. Объясним их подробнее. Санчита-карма - полный совокупный остаток кармы. Только человек производит карму, животные же пребывают в состоянии Бхога-Йони, в котором они могут только страдать или радоваться и не могут ни создать, ни ликвидировать карму, как это делают люди. Санчита-карма - это карма, созданная личностью в ее предыдущих человеческих воплощениях. А прарабдха является частью санчиты, определенной на данное воплощение. У нее есть как позитивная, так и негативная сторона. Человеческие радости и достижения проистекают из положительной ее стороны, а несчастья и потери - из отрицательной. Другую часть санчиты можно описать как ранее созданные побуждения, могущие войти в теперешнюю жизнь в любой момент. И когда люди неожиданно делают нечто такое, чего они меньше всего ожидали, то это может быть результатом именно такого побуждения.

Следовательно, человеческая жизнь - это история прарабдхи и побуждений, для которых нет здравого объяснения с точки зрения наследственности и влияния окружающей среды. Поведение личности, таким образом, формируется четырьмя факторами: окружением и наследственностью, прарабдхой и мотивациями, имеющими источник в предыдущей жизни. Крийяман-карма - это область, в которой человек может сам улучшить или испортить свою судьбу. Только в этой достаточно ограниченной области он может наслаждаться свободой действий. Хотя мотивации предыдущей жизни и прарабдха часто создают конфликты. Лучший совет, который все великие йоги дают людям, - это сознательно проживать (перестрадать) прарабдху. И творить добрые дела в области крийяман. То есть смиренно и терпеливо принимать то, что нельзя предотвратить, и в области свободы воли совершать действия, которые приближают нас к акарме, трансцендентному уровню.

Карма и здоровье. Рассказав о судьбе и карме, мы совершенно не хотим, чтобы у читателя возник фатальный настрой. «Зачем лечиться, если все предопределено?» Ну, во-первых, не все - определенная свобода выбора есть всегда. Во-вторых, в Аюрведе говорится, что с болезнями, пожаром и долгами надо начинать бороться немедленно, прилагая все усилия. В-третьих, в соответствии с Ведической астрологией и Аюрведой, а также с огромным множеством других источников мы находимся на пороге новой эры (золотой век, эпоха Водолея и т. д.) и темпы нашей жизни ускоряются сейчас как на внешнем уровне, так и на внутреннем. И если раньше для отработки, решения какой-либо кармической задачи требовалось несколько жизней, то сейчас ее можно решить за одну жизнь, а то и за несколько лет. Но, к сожалению, верно и обратное. Сейчас, как никогда, опасны неправильное мировоззрение, обиды, гнев, страх за будущее и т. д., и человека может скрутить очень быстро, даже не дав ему понять: «За что?!» Сейчас важно, как никогда, руководствоваться любовью, всепрощением, терпимостью, если вы хотите, чтобы ваша жизнь была долгой и здоровой. Согласно проведенным исследованиям, люди, которые долго живут верят в Бога, придерживаются вегетарианства, живут в экологически чистых местах, правильно питаются, пользуются услугами современной медицины и т.д. Но есть и такие долгожители, которые не соблюдают ни одного из вышеприведенных условий. И что же их объединяет? Это любовь, доброта, терпение и хорошее чувство юмора. Никто никогда не видел и не слышал, чтобы обидчивая, истеричная женщина жила долго и не болела. Как, впрочем, и агрессивные, раздражительные, беспокойные люди. То есть на наше счастье и здоровье, а также окружающих нас людей очень большое влияние оказывают наш характер и мировоззрение.

Кстати, доказательства вышесказанного вы можете найти не только у мудрецов - святых Индии и Тибета, но и у многих наших современников. В частности, у Эдгара Кейса (можно скачать книгу Кевин Дж.Тодесчи. «Эдгар Кейс и Хроники Акаши» в нашей библиотеке), человека, который предсказал множество событий с огромной точностью. Но самое важное то, что он мог найти происхождение каждой болезни в прошлых жизнях. Зарегистрировано девяносто тысяч таких случаев в институте, названном именем этого великого американца. Есть и другие важные исследования в этой области, но мы не имеем возможности привести их все. Но таких исследований будет все больше, и болезни окажутся побеждены не открытием новых медицинских препаратов, а благодаря изменению сознания людей! Так что давайте вступим в новый век с чистым сознанием и здоровым телом!

Кинематика – изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обуславливает.

Мат.точка – не имеет размеров, но в мат.точке сосредоточенна масса всего тела.

Поступательное – движение при котором прямая связанная с телом остаётся || самой себе.

Кинетические ур-я движения мат.точки:

Траектория – линия описываемая мат.точкой в пространстве.

Перемещение – приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени.

Скорость – Быстрота движения мат.точки.

Вектором средней скорости<> называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени.

Мгновенная скорость – величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени.

Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени.

Компоненты равны производным от координат по времени.

Равномерное – движение при котором за равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути.

Неравномерное – движение при котором скорость меняется как по модулю так и по направлению.

Ускорение и его составляющие.

Ускорение – физ.величина, определяющая быстроту изменения скорости, как по модулю, так и по направлению.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от t до t+t называется векторная величина равная отношению изменения скорости к интервалу времениt: .Мгновенным ускорением мат.точки в момент времени t будет предел среднего ускорения. ..

определяет по модулю.

определяет по направлению.т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Нормальная составляющая ускорения направлена по нормали к траектории к центру её кривизны (поэтому её также называют центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих.

Если а н =?,а т =?

1. 1,2,3 Законы Ньютона.

В основе Динамики мат.точки лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона – всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние.

Инертность – стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Законы Ньютона выполняются только в инерциальной системе отсчёта .

Инерциальная система отсчёта – система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой то другой инерциальной системы.

Масса тела – физ.величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая её инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) св-ва.

Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона – ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

Импульс (кол-во движения) – векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки на её скорость и имеющая направление скорости.

Более общая формулировка 2-го закона Н.(уравнение движения мт): скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.

Следствие из 2зН: принцип независимости действия сил: если на мт действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает мт ускорение согласно 2зН, как будто других сил не было.

Третий закон Ньютона. Всякое действие мт (тел) друг на друга, носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга мт, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Импульс тела, сила. Закон сохранения импульса.

Внутренние силы – силы взаимодействия между мт механической системы.

Внешние силы – силы, с которыми на мт системы действуют внешние тела.

В механической системе тел, по 3-му закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна 0.

Запишем 2зН, для каждого из n тел механической системы(мс):

…………………

Сложим эти ур-я:

Т.к. геометрическая сумма внутренних сил мс по 3зН равна 0, то:

где - импульс системы.

В случае отсутствия внешних сил(замкнутая система):

, т.е.

Это и есть закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Центр масс, движение центра масс.

Центр масс (центр инерции) системы мт называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы.

Радиус-вектор этой точки равен:

Скорость центра масс (цм):

; , т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс.

Т.к. то:, т.е.:

Закон движения центра масс: центр масс системы движется как мт, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Кинематика вращательного движения материальной точки.

Угловая скорость – векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени.

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.

Линейная скорость точки:

В векторном виде: , при этом модуль равен:.

Если =const, то вращение равномерное.

Период вращения (Т) – время, за которое точка совершает один полный оборот. ().

Частота вращения ( n ) – число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени. ;.

Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: . При ускоренном, при замедленном.

Тангенциальная составляющая ускорения:

Нормальная составляющая: .

Формулы связи линейных и угловых величин:

При :

Момент силы.

Момент силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведённого из точки О в точку А приложения силы, на силу F.

Здесь - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

Модуль момента силы равен .

Момент силы относительно неподвижной оси z – скалярная величина , равная проекции на эту ось векторамомента силы, определённого относительно произвольной точки О данной осиz. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на данной оси.

Момент инерции твёрдого тела. Теорема Штейнера.

Момент инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n мт системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси.

При непрерывном распределении масс.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J C относительно параллельной оси, проходящеё через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Пусть сила F приложена к точке В. Находящейся от оси вращения на расстоянии r, -угол между направлением силы и радиус-векторомr. При повороте тела на бесконечно малый угол , точка приложения В проходит путь, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Учитывая, что , запишем:

Где -момент силы, относительно оси.

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идёт на увеличение его кинетической энергии:

Но ,, поэтому

Учитывая, что получим:

Этот и есть относительно неподвижной оси.

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то: .

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса (количество движения) мт А относительно неподвижной точки О – физическая величина, определяемая векторным произведением:

где r-радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А; - импульс мт.-псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

Модуль вектора момента импульса:

Момент импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L z , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси.

Т.к. , то момент импульса отдельной частицы:

Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, а т.к. , то:

Т.о. момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем последнее уравнение: , т.е.:

это и есть уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: Производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство:

В замкнутой системе момент внешних сил и, откуда:L=const, это выражение и есть закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Работа силы. Мощность.

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

Работа силы – величина, характеризующая процесс обмена энергией между взаимодействующими телами в механике.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый уголс направлением перемещения, торабота этой силы равна произведению проекции силы F s на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:

Элементарная работа силы на перемещенииназывается скалярная величина, равная:, где,,.

Работа силы на участке траектории от 1 до 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути:

Если на графике изображена зависимость F s от S, то работа определяется на графике площадью закрашенной фигуры.

При , то А>0

При , то А<0,

При , то А=0.

Мощность – скорость совершения работы.

Т.е. мощность равна скалярному произведению вектору силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

Кинетическая и потенциальная энергия поступательного и вращательного движения.

Кинетическая энергия механической системы – энергия механического движения этой системы. dA=dT. По 2зН , помножим наи получим:;

Отсюда:.

Кинетическая энергия системы – есть функция состояния её движения, она всегда , и зависит от выбора системы отсчёта.

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Если силовое поле характеризуется тем, что работа совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории, по которой это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений, то такое поле называется потенциальным, а силы, действующие в нём – консервативными, если же работа зависит от траектории то такая сила – диссипативная .

Т.к. работа совершается за счёт убыли потенциальной энергии, то: ;;, где С – постоянная интегрирования, т.е. энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной.

Если силы консервативны, то:

- Градиент скаляра П. (также обозначается ).

Т.к. начало отсчёта выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение. (при П=-mgh’).

Найдём потенциальную энергию пружины.

Сила упругости: , по 3зН:F x =-F x упр =kx;

dA=F x dx=kxdx;.

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы, она зависит только от конфигурации системы и от её положения по отношению к внешним телам.

Кинетическая энергия вращения

Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и взаимодействия: Е=Т+П, т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Пусть F 1 ’…F n ’ – равнодействующие внутренних консервативных сил. F 1 …F n - равнодействующие внешних консервативных сил. f 1 …f n . Запишем уравнения 2зН для этих точек:

Умножим каждое ур-е на , учтя, что.

Сложим ур-я:

Первый член левой части:

Где dT есть приращение кинетической энергии системы.

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергииdП системы.

Правая часть равенства задаёт работу вешних неконсервативных сил, действующих на систему. Т.о.:

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то:

d(Т+П)=0;Т+П=Е=const

Т.е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Закон сохранения механической энергии : в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Абсолютно упругий удар.

Удар (соударение)

Коэффициент восстановления

абсолютно неупругими , если =1 тоабсолютно упругими.

Линия удара

Центральный удар

Абсолютно упругий удар – столкновение 2-х тел, в результате которого в обоих взаимодействующих не остаётся ни каких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Законы сохранения:

m 1 v 1 +m 2 v 2 =m 1 v’ 1 +m 2 v’ 2

после преобразований:

откуда:v 1 +v 1 ’=v 2 +v 2 ’

решая последнее ур-е и предпедпоследнее найдём:

Абсолютно неупругий удар.

Удар (соударение) – столкновение 2-х или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. При ударе внешними силами можно пренебречь.

Коэффициент восстановления – отношение нормальной составляющей относительной скорости тел после и до удара.

Если для сталкивающих тел =0, то такие тела называютсяабсолютно неупругими , если =1 тоабсолютно упругими.

Линия удара – прямая проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения.

Центральный удар – такой удар, при котором тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центр масс.

Абсолютно неупругий удар – столкновении 2-х тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше, как единое целое.

Закон сохранения импульса:

Если шары двигались навстречу друг другу, то при абсолютно неупругом ударе шары движутся в сторону большего импульса.

Поле тяготения, напряжённость, потенциал.

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя мт действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:

G – Гравитационная постоянная (G=6,67*10 -11 Hm 2 /(кг) 2)

Гравитационное взаимодействие между двумя телами осуществляется с помощью поля тяготения , или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное св-во поля в том, что на всякое тело внесённое в это поле действует сила тяготения:

Вектор не завит от массы и называется напряжённостью поля тяготения.

Напряжённость поля тяготения определяется силой действующей со стороны поля на мт единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой, напряжённость есть силовая хар-ка поля тяготения.

Поле тяготения однородное если напряжённость во всех точках его одинакова, и центральным , если во всех точках поля векторы напряжённости направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке.

Гравитационное поле тяготения – носитель энергии.

На расстоянии R на тело действует сила:

при перемещении этого тела на расстояние dR затрачивается работа:

Знак минус появляется, т.к. сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению.

Затраченная работа в пол тяготения не зависит от траектории перемещения, т.е. илы тяготения консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Если то П 2 =0, тогда запишем:,

Потенциал поля тяготения – скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Т.о.:

Эквипотенциальные – такие поверхности, для которых потенциал постоянен.

Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью.

Знак мину указывает на то, что вектор напряжённости направлен в сторону убывания потенциала.

Если тело находится на высоте h, то

Неинерциальная система отсчёта. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

Неинерциальная – система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной системы отсчёта с ускорением.

Законы Н можно применять в неинерциальной системе отсчёта, если учесть силы инерции. Силы инерции при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение, каким оно обладает в неинерциальных системах отсчёта, т.е.:

Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

Т.е. угол отклонения нити от вертикали равен:

Относительно системы отсчёта, связанной с тележкой шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F ин, т.е.:

Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчёта.

Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске на разных расстояниях от оси вращения установлены маятники (на нитях подвешены шарики). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол.

В инерциальной системе отсчёта, связанной с помещением, на шарик действует сила, равная , и направлена перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжестии силы натяжения нити:

Когда движение шарика установится, то:

т.е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние R от шарика до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения .

Относительно системы отсчёта, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой.

Сила , называемаяцентробежной силой инерции , направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна:.

Гидростатическое давление, закон Архимеда, закон неразрывности струи.

Гидроаэромеханика – раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твёрдыми телами.

Несжимаемая жидкость – жидкость, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Давление – физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей о стороны жидкости на единицу площади:

Закон Паскаля – давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причём давление одинаково передаётся по всему объёму, занятому покоящейся жидкости.

Если жидкость не сжимаема, то при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности вес:

А давление на нижнее основание:,т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давлениеназываетсягидростатическим давлением .

Из этого следует, что давление на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, значит на тело, погружённое в жидкость действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело погружённое в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости:,

Течение – движение жидкости.Поток – совокупность частиц движущейся жидкости.Линии тока – графическое изображение движения жидкости.

Течение жидкости установившееся (стационарно) , если форма расположения линий тока, а так же значения скоростей в каждой её точке со временем не изменяются.

За 1с через сечение S 1 пройдёт объём жидкости равный , а черезS 2 - , здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость не сжимаема, то через оба сечения пройдёт равный объём:

Это и есть уравнение неразрывности струи для несжимаемой жидкости.

Закон Бернулли.

Жидкость идеальна, движение стационарно.

За малый промежуток времени жидкость перемещается от сеченийS 1 и S 2 к сечениям S’ 1 и S’ 2 .

По закону сохранения энергии изменение полной энергии идеальной несжимаемой жидкости равно работе внешних сил по перемещению массы жидкости:,

где Е 1 и Е 2 – полные энергии жидкости массой m в местах сечений S 1 и S 2 соответственно.

С другой стороны А – это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключённой между сечениями S 1 и S 2 , за рассматриваемый промежуток времени . Для переноса массыm от S 1 до S’ 1 жидкость должна переместится на расстояние и отS 2 до S’ 2 на расстояние .,гдеF 1 =p 1 S 1 и F 2 =-p 2 S 2 .

Раздел механики, в котором изучают, как взаимодействие тел влияет на их движение, называют динамикой .

Основные законы динамики открыли итальянский ученый Галилео Галилей и английский ученый Исаак Ньютон. Вы изучали эти законы в курсе физики основной школы. Напомним их.

1. Первый закон ньютона (закон инерции)

Повторим один из опытов, которые поставил итальянский ученый Галилео Галилей.

Поставим опыт
Будем скатывать шар по наклонной плоскости и наблюдать за его дальнейшим движением по горизонтальной поверхности.
Если она посыпана песком, шар остановится очень скоро (рис. 13.1, а).
Если она покрыта тканью, шар катится значительно дольше (рис. 13.1, б).
А вот по стеклу шар катится очень долго (рис. 13.1, в).

На основании этого и подобных опытов Галилей открыл закон инерции: если на тело не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы, то тлело движется равномерно и прямолинейно или покоится.

Сохранение скорости тела, когда на него не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы, называют явлением инерции .

1. Почему при встряхивании мокрого зонта с него слетают капли воды?

Особенно красиво смотрится явление инерции в фигурном катании (рис. 13.2).

Закон инерции называют также первым законом Ньютона , потому что Ньютон включил его в качестве первого закона в систему трех законов динамики, которые называют «тремя законами Ньютона».

Инерциальные системы отсчета

Закон инерции выполняется с хорошей точностью в системе отсчета, связанной с Землей. Но он не выполняется, например, в системе отсчета, связанной с тормозящим автобусом: при резком торможении пассажиры отклоняются вперед, хотя на них не действуют направленные вперед силы.
Системы отсчета, в которых выполняется закон инерции, называют инерциальными.

Инерциальных систем отсчета бесконечно много. Ведь если некоторая система отсчета является инерциальной, то инерциальной будет любая другая система отсчета, движущаяся относительно нее прямолинейно и равномерно.

Сформулируем теперь первый закон Ньютона с указанием систем отсчета, в которых он выполняется.

Существуют системы отсчета (называемые инерциальными), относительно которых тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы .

Изучать влияние взаимодействия тел на их движение удобнее всего именно в инерциальных системах отсчета, потому что в этих системах отсчета изменение скорости тела обусловлено только действием других тел на это тело.

Принцип относительности Галилея

Как показывает опыт, во всех инерциальных системах отсчета все механические явления протекают одинаково при одинаковых начальных условиях.

Это утверждение называют принципом относительности Галилея .

В справедливости принципа относительности Галилея легко убедиться, сидя в поезде, который плавно движется с постоянной скоростью. В таком случае все опыты с механическими явлениями, поставленные в вагоне, дадут одинаковые результаты независимо от того, едет поезд или стоит: например, лежащее на столе яблоко будет покоиться, а свободно падающие предметы будут падать вертикально вниз (относительно вагона!).

Поэтому пассажир может определить, едет поезд или стоит на станции, только посмотрев в окно (рис. 13.3).

2. Второй закон ньютона

Равнодействующая

Как вы уже знаете из курса физики основной школы, силы – векторные величины: каждая сила характеризуется числовым значением (модулем) и направлением. Силы измеряют с помощью динамометров. Единицей силы в СИ является 1 ньютон (Н). Определение ньютона мы дадим позже.

Если на тело, которое можно считать материальной точкой, действуют несколько сил, то их можно заменить одной силой, которая является векторной суммой этих сил. Ее называют равнодействующей.

На рисунке 13.4 показано, как найти равнодействующую двух сил: а

2. К телу приложены две силы, равные по модулю 1 Н и 2 Н. Отвечая на следующие вопросы, сделайте пояснительные чертежи.
а) Какое наименьшее значение может принимать равнодействующая этих сил? Как направлены силы в этом случае?
б) Какое наибольшее значение может быть у равнодействующей этих сил? Как направлены силы в атом случае?
в) Может ли равнодействующая этих сил быть равной 2 Н?

3. К телу приложены две силы, равные по модулю 3 Н и 4 Н. Может ли их равнодействующая быть равной 5 Н? Если да, то чему в этом случае равен угол между приложенными силами?

4. К телу приложены три равные по модулю силы по 1 Н каждая. Как они должны быть направлены, чтобы:
а) равнодействующая была равна 1 Н?
б) равнодействующая была равна нулю?
в) равнодействующая была равна 2 Н?

Масса тела

В курсе физики основной школы рассказывалось также об опытах, которые доказывают, что под действием постоянной силы тело движется с постоянным ускорением.

Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением характеризует инертные свойства тела и называется массой тела. Чем больше масса тела, тем большую силу надо приложить к телу, чтобы сообщить ему то же ускорение.

Единицей массы в СИ является 1 килограмм (кг). Это масса эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов (Франция). Приближенно можно считать, что одному килограмму равна масса 1 л воды.

Обозначают массу буквой m.

Второй закон Ньютона

Соотношение между равнодействующей всех сил, приложенных к телу, массой тела и его ускорением Ньютон сформулировал как второй из трех основных законов механики.

Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

В инерциальной системе отсчета сила является причиной ускорения, поэтому второй закон Ньютона часто записывают так:

Итак, приобретаемое телом ускорение прямо пропорционально равнодействующей приложенных к телу сил, одинаково с ней направлено и обратно пропорционально массе тела.

Заметим, что второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Напомним: в этих системах отсчета ускорение тела обусловлено только действием на него других тел.

Единицу силы в СИ определяют на основе второго закона Ньютона: сила в 1 ньютон сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2 . Поэтому 1 Н = 1 кг * м/с 2 .

Сила тяжести

Как вы уже знаете, под действием притяжения Земли все тела падают с одинаковым ускорением – ускорением свободного падения . Силу притяжения, действующую на тело со стороны Земли, называют силой тяжести и обозначают т.

Когда тело свободно падает, на него действует только сила тяжести, поэтому она и является равнодействующей всех приложенных к телу сил. При атом тело движется с ускорением , поэтому из второго закона Ньютона получаем:

5. С какой силой Земля притягивает:
а) килограммовую гирю?
б) человека массой 60 кг?

Сила, скорость и ускорение – кто «третий лишний»?

Неочевидное следствие второго закона Ньютона состоит в том, что он утверждает: направление ускорения тела совпадает с направлением равнодействующей приложенных телу сил. Скорость же вела может быть при этом направлена как угодно!

Поставим опыт

Бросим шарик вниз, затем – вверх, а потом – под углом к горизонту (рис. 13.5)

На шарик во время всего движения действует только направленная вниз сила тяжести. Однако в первом случае (а) скорость шарика совпадает по направлению с этой силой, во втором случае (б) – скорость вначале противоположна силе тяжести, а в третьем (в) – скорость направлена под углом к силе тяжести (например, в верхней точке траектории скорость перпендикулярна силе тяжести).

6. Тело равномерно движется по окружности. Чему равен угол между скоростью тела и равнодействующей?

7. Чему равен угол между скоростью автомобиля и равнодействующей приложенных к нему сил, когда автомобиль:
а) разгоняется на прямой дороге?
б) тормозит на прямой дороге?
в) движется равномерно по дуге окружности?

3. Третий закон ньютона

Поставим опыт

Предложим первокласснику и десятикласснику посоревноваться в перетягивании каната, стоя на скейтбордах: тогда трением между колесами и полом можно пренебречь (схема опыта показана на рисунке 13.6).

Мы увидим, что оба соперника движутся с ускорением. Значит, на каждого из них действу другого. Ускорения соперников направлено противоположно, причем ускорение первоклассника намного больше ускорения десятиклассника.

Точные опыты, подобные описанном выше, показывают, что модули ускорений обратно пропорциональны массам тел :

a 1 /a 2 = m 2 /m 1 .

Поскольку ускорения направлены противоположно,

Согласно второму закону Ньютона m 1 1 = 1 и m 2 2 = 2 , где 1 – сила, действующая на первое тело со стороны второго, а 2 – сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Из соотношения (5) следует, что 1 = – 2 . Это и есть третий закон Ньютона.

Тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Свойстве сил, с которыми тела взаимодействуют друг с другом:
– эти силы обусловлены одним и тем же взаимодействием и поэтому имеют одну и ту же физическую природу;
– эти силы направлены вдоль одной прямой;
– эти силы приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга.

Примеры проявления третьего закона Ньютона

Когда камень падает на Землю, на него действует сила тяжести 1 со стороны Земли, а на Землю – сила 2 притяжения со стороны камня (рис. 13.7, для наглядности масштаб не соблюден). Обе эти силы относятся к силам всемирного тяготения.

8. Согласно третьему закону Ньютона F 1 = F 2 . Почему же ускорение камня заметно, а ускорение Земли – нет?

Когда камень лежит на Земле, на него кроме силы тяжести, которую будем обозначать теперь т, действует еще направленная вверх сила давления со стороны опоры (рис. 13.8, а). Она направлена перпендикулярно поверхности опоры, поэтому ее называют силой нормальной реакции (перпендикуляр называют часто нормалью). (Когда тело можно считать материальной точкой, все действующие на него силы желательно изображать на чертежах приложенными в одной точке.)

Когда камень покоится, его ускорение равно нулю. Значит, согласно второму закону Ньютона равнодействующая приложенных к камню сил и т, равна нулю (будем говорить, что в таком случае силы уравновешивают друг друга):

Отсюда следует:

Опора давит на камень силой , направленной вверх, а камень, по третьему закону Ньютона, давит на опору силан , направленной вниз (рис. 13.8, 6). Обе эти силы – силы упругости.

Силу, с которой тело вследствие действия на него силы тяжести давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный поднес, называют весом тела.

Итак, – это вес камня. По третьему закону Ньютона

Из формул (8) и (9) следует:

Итак, вес покоящегося тела равен действующей на это тело силе тяжести. Однако несмотря на это вес и сила тяжести существенно отличаются друг от друга:
– эти силы приложены к разным телам: вес действует на опору или поднес, а сила тяжести – на само тело;
– эти силы имеют разную физическую природу: вес – это сила упругости, а сила тяжести – проявление сил всемирного тяготения.

Кроме того, как мы увидим несколько позже (§ 16), вес может быть не равен силе тяжести и даже быть равным нулю.

Дополнительные вопросы и задания

9. Ускорение тела в некоторой инерциальной системе отсчета равно 3 м/с2 и направлено вдоль оси x. Чему равно ускорение этого тела в инерциальной системе отсчета, движущейся относительно заданной со скоростью 4 м/с, направленной вдоль оси y? Есть ли здесь лишние данные?

10. Брусок массой 0,5 кг соскальзывает с наклонной плоскости с углом наклона 30º. Скорость бруска увеличивается. Ускорение бруска равно 2 м/с 2 . Изобразите на чертеже равнодействующую приложенных к бруску сил. Чему она равна? Есть ли в задаче лишние данные?

11. Зависимость координаты x автомобиля от времени выражается в единицах СИ формулой x = 20 – 10t + t 2 . Ось x направлена вдоль дороги, масса автомобиля 1 т.
а) Чему равна равнодействующая приложенных к автомобилю сил?
б) Как она направлена в начальный момент – в направлении скорости автомобиля или противоположно ей?

12. Автомобиль массой 1 т едет со скоростью 72 км/ч по выпуклому мосту, имеющему форму дуги окружности радиусом 50 м. Сделайте чертеж и ответьте на вопросы.
а) Чему равна и как направлена равнодействующая сил, приложенных к автомобилю в верхней точке моста?
б) Какие силы действуют на автомобиль в этой точке? Как они направлены и чему они равны?
в) Во сколько раз вес автомобиля в верхней точке моста меньше действующей на автомобиль силы тяжести?