Определение. Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин , с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве.
а) Так, положение в пространстве материальной точки полностью определяется заданием трёх её координат (например, декартовых x, y, z или сферических , т.е. число степеней свободыi=3 ).
б)
Система из 2-х жёстко связанных материальных
точек (отрезок, их соединяющий, фиксирован
).
Координаты этих 2-х точек связаны
соотношением,
при этом достаточно задать 5 координат,
а шестую можно найти из приведённого
соотношения, т.е.i
=5
.
Если точки не связаны между собой
жёстко, то число степеней свободы i=6
.
Изменение
даёт ещё одну степень свободы, которая
называетсяколебательной
.
Положение
системы, состоящей из 2-х жёстко связанных
материальных точек (или, например,
стержня) можно задать следующим образом:
задать 3 координаты центра
инерции системы С
и 2 угла
и
,
которыми определяется направление
в пространстве оси системы
(Рис. 7.1).
Закон равнораспределения энергии
В классической статической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия, равная кТ . Необходимо отметить, что поступательное и вращательное движения связаны только с кинетической энергией, в то время как колебательное движение связано с наличием и кинетической и потенциальной энергий , причём среднее значение потенциальной и кинетической энергии оказывается одинаковым. Поэтому на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем две половинки кТ. Средняя энергия молекулы должна равняться:
Для молекул с жёсткой связью между атомами i совпадает с числом степеней свободы молекулы.
Внутренняя энергия идеального газа
Определение. Внутренней энергией какого-либо тела называется энергия этого тела за вычетом кинетической энергии тела как целого и потенциальной энергии тела во внешнем поле сил. Она является функцией внутреннего состояния системы. Для идеального газа внутренняя энергия состоит из суммы энергий поступательного, вращательного и колебательного движений молекул . (Заметим, что в общем случае во внутреннюю энергию входят энергия взаимодействия атомов, энергия электронных оболочек, внутриядерная энергия и др.). Внутреннюю энергию одного моля идеального газа найдём, умножив число Авогадро на среднюю энергию одной молекулы:
Учитывая,
что
,
получим:
|
|
т.е. внутренняя энергия идеального газа является функцией температуры и пропорциональна ей, а также зависит от числа степеней свободы молекул . То, что внутренняя энергия является функцией состояния системы, означает, что всякий раз, когда система оказывается в данном состоянии, ее внутренняя энергия принимает присущее этому состоянию значение, независимо от предыстории системы. Следовательно, изменение внутренней энергии при переходе системы из одного состояния в другое будет всегда равно разности значений внутренней энергии в этих состояниях, независимо от пути, по которому совершался переход .
Свяжем
внутреннюю энергию с теплоёмкостью. По
определению теплоёмкость в процессе
при постоянном объёме
,
для идеального газа
|
|
Соответственно
|
|
3 . Основное уравнение молекулярно-кинетической теории.
Постановка
задачи
.
Требуется получить связь между
макропараметрами – давлением P,
температурой T,
с микропараметрами – массой молекулы
m
,
её скоростью
и концентрацией молекулn
.
Пусть
имеется некоторый сосуд с газом. Будем
считать, что молекулы могут двигаться
вдоль осей x,
y,
z.
Выберем на стенке сосуда участок
поверхности
(Рис. 7.2). Если в сосудеN
молекул, то
вследствие равновероятности этих
направлений вдоль каждой оси будет
двигаться
|
|
молекул.
Половина из них движется вдоль данного
направления, т.е.
(ось имеет два направления). Предположим,
что все молекулы движутся с одинаковой
скоростью, равной
|
.
Тогда за время
до элемента стенки
долетят молекулы, заключённые в объёме
параллелепипеда с основанием
и высотой
.
Число этих молекул равнопроизведению
плотности молекул
(где
объём
сосуда) на объём
,
т.е. число молекул, летящих к площади
(1)
По закону сохранения импульса каждая молекула при ударе о стенку передаёт ей импульс (удар считается упругим), равный изменению импульса молекулы (Рис. 7.3, а, б ).
.
(2)
По 2-му закону Ньютона:
,
(3)
где
сила,
действующая со стороны молекулы на
стенку;
длительность
взаимодействия молекулы со стенкой.
В одном из предыдущих постов мы обсудили, пожалуй, центральное понятие в анализе данных и проверке гипотез - p-уровень значимости. Если мы не применяем байесовский подход, то именно значение p-value мы используем для принятия решения о том, достаточно ли у нас оснований отклонить нулевую гипотезу нашего исследования, т.е. гордо заявить миру, что у нас были получены статистически значимые различия.
Однако в большинстве статистических тестов, используемых для проверки гипотез, (например, t-тест, регрессионный анализ, дисперсионный анализ) рядом с p-value всегда соседствует такой показатель как число степеней свободы, он же degrees of freedom или просто сокращенно df, о нем мы сегодня и поговорим.
Степени свободы, о чем речь?
По моему мнению, понятие степеней свободы в статистике примечательно тем, что оно одновременно является и одним из самым важных в прикладной статистике (нам необходимо знать df для расчета p-value в озвученных тестах), но вместе с тем и одним из самых сложных для понимания определений для студентов-нематематиков, изучающих статистику.Давайте рассмотрим пример небольшого статистического исследования, чтобы понять, зачем нам нужен показатель df, и в чем же с ним такая проблема. Допустим, мы решили проверить гипотезу о том, что средний рост жителей Санкт-Петербурга равняется 170 сантиметрам. Для этих целей мы набрали выборку из 16 человек и получили следующие результаты: средний рост по выборке оказался равен 173 при стандартном отклонении равном 4. Для проверки нашей гипотезы можно использовать одновыборочный t-критерий Стьюдента, позволяющий оценить, как сильно выборочное среднее отклонилось от предполагаемого среднего в генеральной совокупности в единицах стандартной ошибки:
Проведем необходимые расчеты и получим, что значение t-критерия равняется 3, отлично, осталось рассчитать p-value и задача решена. Однако, ознакомившись с особенностями t-распределения мы выясним, что его форма различается в зависимости от числа степеней свобод, рассчитываемых по формуле n-1, где n - это число наблюдений в выборке:
Сама по себе формула для расчета df выглядит весьма дружелюбной, подставили число наблюдений, вычли единичку и ответ готов: осталось рассчитать значение p-value, которое в нашем случае равняется 0.004.
Но почему n минус один?
Когда я впервые в жизни на лекции по статистике столкнулся с этой процедурой, у меня как и у многих студентов возник законный вопрос: а почему мы вычитаем единицу? Почему мы не вычитаем двойку, например? И почему мы вообще должны что-то вычитать из числа наблюдений в нашей выборке?В учебнике я прочитал следующее объяснение, которое еще не раз в дальнейшем встречал в качестве ответа на данный вопрос:
“Допустим мы знаем, чему равняется выборочное среднее, тогда нам необходимо знать только n-1 элементов выборки, чтобы безошибочно определить чему равняется оставшейся n элемент”. Звучит разумно, однако такое объяснение скорее описывает некоторый математический прием, чем объясняет зачем нам понадобилось его применять при расчете t-критерия. Следующее распространенное объяснение звучит следующим образом: число степеней свободы - это разность числа наблюдений и числа оцененных параметров. При использовании одновыборочного t-критерия мы оценили один параметр - среднее значение в генеральной совокупности, используя n элементов выборки, значит df = n-1.
Однако ни первое, ни второе объяснение так и не помогает понять, зачем же именно нам потребовалось вычитать число оцененных параметров из числа наблюдений?
Причем тут распределение Хи-квадрат Пирсона?
Давайте двинемся чуть дальше в поисках ответа. Сначала обратимся к определению t-распределения, очевидно, что все ответы скрыты именно в нем. Итак случайная величина:
Имеет t-распределение с df = ν, при условии, что Z – случайная величина со стандартным нормальным распределением N(0; 1), V – случайная величина с распределением Хи-квадрат, с ν числом степеней свобод, случайные величины Z и V независимы. Это уже серьезный шаг вперед, оказывается, за число степеней свободы ответственна случайная величина с распределением Хи-квадрат в знаменателе нашей формулы.
Давайте тогда изучим определение распределения Хи-квадрат. Распределение Хи-квадрат с k степенями свободы - это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.
Кажется, мы уже совсем у цели, по крайней мере, теперь мы точно знаем, что такое число степеней свободы у распределения Хи-квадрат - это просто число независимых случайных величин с нормальным стандартным распределением, которые мы суммируем. Но все еще остается неясным, на каком этапе и зачем нам потребовалось вычитать единицу из этого значения?
Давайте рассмотрим небольшой пример, который наглядно иллюстрирует данную необходимость. Допустим, мы очень любим принимать важные жизненные решения, основываясь на результате подбрасывания монетки. Однако, последнее время, мы заподозрили нашу монетку в том, что у нее слишком часто выпадает орел. Чтобы попытаться отклонить гипотезу о том, что наша монетка на самом деле является честной, мы зафиксировали результаты 100 бросков и получили следующий результат: 60 раз выпал орел и только 40 раз выпала решка. Достаточно ли у нас оснований отклонить гипотезу о том, что монетка честная? В этом нам и поможет распределение Хи-квадрат Пирсона. Ведь если бы монетка была по настоящему честной, то ожидаемые, теоретические частоты выпадания орла и решки были бы одинаковыми, то есть 50 и 50. Легко рассчитать насколько сильно наблюдаемые частоты отклоняются от ожидаемых. Для этого рассчитаем расстояние Хи-квадрат Пирсона по, я думаю, знакомой большинству читателей формуле:
Где O - наблюдаемые, E - ожидаемые частоты.
Дело в том, что если верна нулевая гипотеза, то при многократном повторении нашего эксперимента распределение разности наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из наблюдаемой частоты, может быть описано при помощи нормального стандартного распределения, а сумма квадратов k таких случайных нормальных величин это и будет по определению случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат.
Давайте проиллюстрируем этот тезис графически, допустим у нас есть две случайные, независимые величины, имеющих стандартное нормальное распределение. Тогда их совместное распределение будет выглядеть следующим образом:
При этом квадрат расстояния от нуля до каждой точки это и будет случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат с двумя степенями свободы. Вспомнив теорему Пифагора, легко убедиться, что данное расстояние и есть сумма квадратов значений обеих величин.
Пришло время вычесть единичку!
Ну а теперь кульминация нашего повествования. Возвращаемся к нашей формуле расчета расстояния Хи-квадрат для проверки честности монетки, подставим имеющиеся данные в формулу и получим, что расстояние Хи-квадрат Пирсона равняется 4. Однако для определения p-value нам необходимо знать число степеней свободы, ведь форма распределения Хи-квадрат зависит от этого параметра, соответственно и критическое значение также будет различаться в зависимости от этого параметра.
Теперь самое интересное. Предположим, что мы решили многократно повторять 100 бросков, и каждый раз мы записывали наблюдаемые частоты орлов и решек, рассчитывали требуемые показатели (разность наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из ожидаемой частоты) и как и в предыдущем примере наносили их на график.
Легко заметить, что теперь все точки выстраиваются в одну линию. Все дело в том, что в случае с монеткой наши слагаемые не являются независимыми, зная общее число бросков и число решек, мы всегда можем точно определить выпавшее число орлов и наоборот, поэтому мы не можем сказать, что два наших слагаемых - это две независимые случайные величины. Также вы можете убедиться, что все точки действительно всегда будут лежать на одной прямой: если у нас выпало 30 орлов, значит решек было 70, если орлов 70, то решек 30 и т.д. Таким образом, несмотря на то, что в нашей формуле было два слагаемых, для расчета p-value мы будем использовать распределение Хи-квадрат с одной степенью свободы! Вот мы наконец-то добрались до момента, когда нам потребовалось вычесть единицу. Если бы мы проверяли гипотезу о том, что наша игральная кость с шестью гранями является честной, то мы бы использовали распределение Хи-квадрат с 5 степенями свободы. Ведь зная общее число бросков и наблюдаемые частоты выпадения любых пяти граней, мы всегда можем точно определить, чему равняется число выпадений шестой грани.
Все становится на свои места
Теперь, вооружившись этими знаниями, вернемся к t-тесту:
В знаменателе у нас находится стандартная ошибка, которая представляет собой выборочное стандартное отклонение, делённое на корень из объёма выборки. В расчет стандартного отклонения входит сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от их среднего значения - то есть сумма нескольких случайных положительных величин. А мы уже знаем, что сумма квадратов n случайных величин может быть описана при помощи распределения хи-квадрат. Однако, несмотря на то, что у нас n слагаемых, у данного распределения будет n-1 степень свободы, так как зная выборочное среднее и n-1 элементов выборки, мы всегда можем точно задать последний элемент (отсюда и берется это объяснение про среднее и n-1 элементов необходимых для однозначного определения n элемента)! Получается, в знаменателе t-статистики у нас спрятано распределение хи-квадрат c n-1 степенями свободы, которое используется для описания распределения выборочного стандартного отклонения! Таким образом, степени свободы в t-распределении на самом деле берутся из распределения хи-квадрат, которое спрятано в формуле t-статистики. Кстати, важно отметить, что все приведенные выше рассуждения справедливы, если исследуемый признак имеет нормальное распределение в генеральной совокупности (или размер выборки достаточно велик), и если бы у нас действительно стояла цель проверить гипотезу о среднем значении роста в популяции, возможно, было бы разумнее использовать непараметрический критерий.
Схожая логика расчета числа степеней свободы сохраняется и при работе с другими тестами, например, в регрессионном или дисперсионном анализе, все дело в случайных величинах с распределением Хи-квадрат, которые присутствуют в формулах для расчета соответствующих критериев.
Таким образом, чтобы правильно интерпретировать результаты статистических исследований и разбираться, откуда возникают все показатели, которые мы получаем при использовании даже такого простого критерия как одновыборочный t-тест, любому исследователю необходимо хорошо понимать, какие математические идеи лежат в основании статистических методов.
Онлайн курсы по статистике: объясняем сложные темы простым языком
Основываясь на опыте преподавания статистики в , у нас возникла идея создать серию онлайн курсов, посвященных анализу данных, в которых в доступной для каждого форме будут объясняться наиболее важные темы, понимание которых необходимо для уверенного использования методов статистики при решении различного рода задача. В 2015 году мы запустили курс Основы статистики , на который к сегодняшнему дню записалось около 17 тысяч человек, три тысячи слушателей уже получили сертификат о его успешном завершении, а сам курс был награждён премией EdCrunch Awards и признан лучшим техническим курсом. В этом году на платформе stepik.org стартовало продолжение курса Основы статистики. Часть два , в котором мы продолжаем знакомство с основными методами статистики и разбираем наиболее сложные теоретические вопросы. Кстати, одной из главных тем курса является роль распределения Хи-квадрат Пирсона при проверке статистических гипотез. Так что если у вас все еще остались вопросы о том, зачем мы вычитаем единицу из общего числа наблюдений, ждем вас на курсе!Стоит также отметить, что теоретические знания в области статистики будут определенно полезны не только тем, кто применяет статистику в академических целях, но и для тех, кто использует анализ данных в прикладных областях. Базовые знания в области статистики просто необходимы для освоения более сложных методов и подходов, которые используются в области машинного обучения и Data Mining. Таким образом, успешное прохождение наших курсов по введению в статистику - хороший старт в области анализа данных. Ну а если вы всерьез задумались о приобретении навыков работы с данными, думаем, вас может заинтересовать наша онлайн - программа по анализу данных, о которой мы подробнее писали . Упомянутые курсы по статистике являются частью этой программы и позволят вам плавно погрузиться в мир статистики и машинного обучения. Однако пройти эти курсы без дедлайнов могут все желающие и вне контекста программы по анализу данных.
Теги: Добавить метки
Первая ступень на пути к Свободе – осознание того, что я могу делать то, что я хочу. Почему именно с этого начинаю? Потому что люди хотят чего-то достичь, поменять в своей жизни, что – то обрести, как внутреннее состояние или внешнее выражение, даже не осознают, что у них стоит «запрет» на позволение себе того, чего они хотят. Это может быть обусловлено воспитанием, какими-либо категориями мышления, просто у человека так сложилось. Поэтому первое к чему приходит человек, когда он проговаривает о своей свободе, либо становится на поиск себя в карьере, в отношениях, в достижениях, в освобождении от чего-то, к тому, чтобы осознать, что «я могу себе позволить то, что я хочу; иметь то, что я хочу; следовать туда, куда я хочу; выбирать в пользу того, чего я хочу».
Мышление делает вот какие фортели: человеку предлагается: бери все, что хочешь, существует многообразие выбора, но он почему-то выбирает то, что для него ущербно. Потому что стоит запрет на то, чтобы владеть, иметь, выбирать то, что он или она реально хочет. Поэтому первая важная ступень - «Наконец - то до меня дошло, что я могу делать то, что я хочу!»
Когда пройдена первая ступень, человек приближается ко второй – "Я делаю то, что хочу!"
Эту ступень люди проходят по-разному. Есть первый сценарий, когда человек уходит в ситуацию «что хочу, то и ворочу» и здесь без последствий не обойдется. Человек нередко нарушает отношения, потому что слишком увлекается собой и где-то это может идти в ущерб семье, работе и вообще отношениям с окружающим его миром. Либо идет по более сбалансированному сценарию, когда человек реально понимает, что «я могу сделать всё, что хочу, у меня есть это осознание, и я прихожу к тому, что: мне немного – то и надо и я действительно делаю только то, что я хочу». Сейчас много книг написано, создано немало тренингов личностного роста, которые вокруг этих двух ступеней и кружатся: «Осознай, что ты можешь абсолютно все!», «Делай! Главное делай, делай, делай!»… У этого есть свои плоды, не всё там идеально, на мой взгляд, но это дело выбора каждого человека.
Но есть ещё две ступени, которые я расцениваю, как свободу более высшего порядка.
Третья ступень приходит, как правило, после того, как человек сделал всё, чего он хочет и даже получил и позитивные, и негативные результаты. Ну например, купил по акции пылесос, недорого, в кредит… Притащил его домой и понял, что не очень-то он ему и был нужен. Но в тот момент в магазине он делал то, что он хотел.
Когда человек «наделался», «натворился», «нахлебался» и «напереосмыслялся», тогда наступает третья ступень: я осознаю, что я могу НЕ делать то, чего я НЕ хочу. Быть может, это звучит немного странно или удивительно, но я со всей ответственностью заявляю, что эта степень свободы подвластна лишь десятой части народонаселения. Я помню глаза одного удивительного человека, когда он долго распинался, как ему надоела работа в одной очень крупной компании и как ему нравится заниматься творчеством, как он мечтает когда-нибудь сделать из него свое дело, свой бизнес. Когда же я задала ему вопрос «А что мешает?», он долго рассказывал, почему он не может этого сделать, когда до него, наконец, дошло: «А я могу больше на эту работу не ходить!» …
Да!Можешь! В этом есть очень много энергии, очень много счастья, реальное освобождение.
Я никого сейчас не призываю перестать ходить на работу, а говорю о том, что реальная свобода наступает тогда, когда человек понимает, что он может НЕ ДЕЛАТЬ того, чего он НЕ ХОЧЕТ.
Человек может не позволять с собой разговаривать так, как ему не нравится, не есть то, что ему не нравится, не участвовать в событиях, которые ему не нравятся. Не убегать, убеждая себя «ну как же, ну что я могла сделать…» Очень многое ТЫ могла сделать. Ты могла просто сказать «НЕТ. Я НЕ БУДУ». Точка. Вот здесь начинается настоящая свобода.
Четвертая степень свободы, социально наивысшая, когда человек так построил свою жизнь, что он реально не делает того, чего он не хочет. Почему эту ступень я назвала наивысшей степенью свободы? Если послушать на что сетуют люди, говоря о своей жизни, то все они крутятся вокруг того, что они являются жертвами людей, отношений, сценариев, воспитания, обстоятельств и они находятся в таком жертвенном, причинном, зависимым, подчиненном состоянии, а встать и выйти они не могут. Вот просто встать и перестать делать, остановить это, сделать что-то по-другому он не могут. Вот те люди, которые реально нашлись, созрели до того, чтобы перестать делать то, что им не нравится навсегда они и преуспели в своей жизни! Это касается и бизнеса и личной жизни. Ты никогда не станешь брендом, если будешь делать все подряд, но ты станешь брендом, если будешь делать то, что тебе нравится и то, что нужно той аудитории, которая тебе интересна. Ты никогда не найдешь себя, как художник, если ты работаешь на швейной фабрике или стоишь на рынке. Если ты хочешь стать художником, перестань ходить на рынок. Если ты хочешь чего-то добиться, или сложить уютные отношения, так пойми, чего ты хочешь, а чего ты не хочешь. И действуй из этого понимания.Тогда и счастье будет, и результат.
Я завернул буженину в пергаментную бумагу. Утром отнесу Бесте, сторожевой овчарке на автостоянке. Такой лакомый кусочек она проглотит не жуя. А сейчас приму душ, выпью чаю с медом и лягу спать. И проснусь прежним человеком. У меня много работы. Во-первых, надо довести до ума все наши наработки по делу о вымогателе и передать их следователю. Во-вторых, надо договориться с местной газетой о рекламе. И, в-третьих…
Завершить создание плана действий на ближайшее время не удалось. Проклятый телефонный звонок! Неужели снова Ирина? Какую бяку она еще хочет подложить мне? Я выплюнул недожеванный кусок мяса в окно и, вытирая на ходу руки полотенцем, вернулся в комнату. Прежде чем ответить, по привычке глянул на дисплей. На этот раз номер был мне незнаком.
– Кирилл Андреевич? – спросил меня мужской голос. – Я старший оперативной группы вневедомственной охраны. Вы не могли бы подъехать сейчас к вашему офису?
Никогда прежде мне не звонили из вневедомственной охраны. Я даже предположить не мог, зачем понадобился старшему оперативной группы. Может быть, Ирина что-нибудь в сердцах начудила? К примеру, разбила тонированное стекло в черном «жигуле»…
– А что случилось?
Могло показаться, что этот вопрос оказался для моего собеседника сложным. Он начал мычать, покашливать, затем нехотя сказал:
– Видите ли, на пульте сработала сигнализация, мы приехали на объект очень быстро, но никого не застали. Скорее всего, несанкционированного проникновения в помещение не было. Может, вы забыли запереть окно на замки и его открыло сквозняком?
«Ирина!» – мстительно подумал я. Она ушла с чистой совестью, а вот закрыть окна забыла. Или нарочно не сделала этого.
Пришлось срочно ехать в офис. У входа в агентство стояла милицейская машина, рядом с ней скучали два парня в форме и с автоматами наперевес. По их виду можно было судить о том, как много приходилось им выезжать по ложным вызовам и как это занятие им надоело. У меня проверили документы.
– Входная дверь и все замки целы, – начал вводить меня в оперативную обстановку рыжеволосый сержант. Он шел рядом со мной, и ствол его короткого автомата все время упирался мне под ребро. – А вот окно – полюбуйтесь – приоткрыто. Я постою здесь, а вы с моим коллегой зайдите внутрь через дверь.
Мы зашли в подъезд и приблизились к металлической двери агентства. Я открыл замок. Милиционер вежливо отстранил меня и зашел в офис первым. Для воришек наше агентство не представляло никакой ценности, поживиться у нас им было нечем, и потому я был спокоен, как слон.
– Ничего не пропало? – спросил милиционер, когда мы обошли один за другим все кабинеты и заглянули в уборную.
В агентстве царил привычный порядок. Из кабинета Ирины еще не успел выветриться запах духов. Я для проформы заглянул в ящик своего стола, а затем в холодильник. Вынул ополовиненную бутылку водки и разлил ее по пластиковым стаканчикам. Водка простояла в холодильнике целый месяц, но, похоже, не выдохлась. К нам присоединился второй милиционер. Мы выпили под тост: «За бдительность вневедомственной охраны!» Рыжий стал закрывать окно, изо всех сил надавливая на раму. Окно скрипело и пищало. Каждое лето, когда переставали топить, оконные рамы разбухали от сырости. Закрыть и тем более открыть окно становилось непросто, и потому версию со сквозняком я сразу отмел. Пожалуй, это были проделки Ирины. Желая отомстить, она решила испортить мне романтический вечер. Поставила офис на сигнализацию, вышла на улицу и толкнула раму. В милиции сработала сигнализация, и в итоге меня вытащили из дома.
– Водка так себе, – сказал рыжий.
Я понял намек и полез за кошельком. Милиционеры закусили конфеткой, которую нашли на столе Ирины, пожелали мне впредь быть повнимательнее и удалились.
За окнами стемнело. Багряный отблеск заката налип на стену. Я сидел за столом Ирины. Она забрала все свои вещи, которые прежде были здесь всегда, – маленькое зеркальце, малахитового кота, шариковую ручку, похожую на гусиное перо. Как тяжело на душе! Будто Ирина умерла. Мне ее было жалко, ее осиротевший стол источал добрую, теплую память.
Я придвинул к себе телефон и набрал номер ее мобильника. Я помнил его наизусть.
– Послушай, не звони мне больше, – ответила Ирина. Я слышал приглушенную музыку и гул автомобильного мотора.
– Ты забыла закрыть окно, – сказал я с легким укором. Я пытался вести себя так, будто ничего не случилось: я начальник, она моя подчиненная, лучшая подчиненная, самая лучшая, на которую я никогда не повышал голос, а за мелкие огрехи лишь ласково журил.
– Я все закрыла! И мне по барабану твои проблемы!
Она отключила связь. В одной руке я продолжал держать трубку, другой стал массировать грудь. Я не ожидал, что наш разговор будет таким коротким. Я хотел ей предложить встретиться и спокойно обсудить все наши проблемы. Не успел. Ну и пусть проваливает. Мне надоели ее капризы. Звонить ей больше не буду. На лбу себе напишу: Ирине не звонить!
Я встал из-за стола, взялся за него и развернул. Новый сотрудник будет сидеть лицом к двери, а не спиной, как это делала Ирина. И это будет мужчина. Никаких женщин в моем агентстве!
За перегородкой зазвонил телефон. Кому это нечего делать, кроме как названивать поздним вечером в частную детективную контору?
– Слушаю!
Я пытался обмануть себя, сделать вид, что не замечаю хлынувшей на меня надежды – а вдруг это Ирина? Вдруг опомнилась, успокоилась и сейчас скажет: «Ладно, Кирилл! Давай мириться!»
В трубке – тихий шорох, сдержанное дыхание.
– Если вы хотите, чтобы я вас услышал, говорите громче, – попросил я.
Короткие гудки. Нет, это не Ирина. Она не позвонит. А если позвонит, то молчать не станет. Это не в ее духе. Ее поступки всегда цельны, имеют начало и исчерпывающее завершение. Если она идет со мной в ресторан, то гуляет там до закрытия, и мне иногда приходится выносить ее на руках. Если увязывается за мной в горы, то умирает, но добирается до вершины. Если уходит, то уже не возвращается. А уж ежели кого-то возненавидит, то этому человеку лучше сразу удавиться…
Никогда еще моя контора не вызывала во мне такого гнетущего чувства. Призрак Ирины витал между стен. Ее стол, шкаф для одежды, листочки перекидного календаря, исписанные ее рукой, и легкий, едва уловимый запах ее духов оставались последним связующим звеном с той, живой, настоящей, но уже недоступной женщиной. Мне трудно было представить, что завтра я приду в агентство и не увижу ее на своем рабочем месте, и Никулин уже не скажет мне с язвительной усмешкой: «Зайди к Ирише, чудовище, она приготовила тебе кофе».
Я вздрогнул от телефонного звонка. Гнусное изобретение – телефон. Кто-то навязывает мне свою волю, врывается в мой мир, нагло заявляет о себе, требует к себе внимания. А я не хочу ни с кем говорить, не хочу даже знать о том, что кому-то нужен. Я смотрел на желтый аппарат, подрагивающий от звонков. Казалось, там сидит маленький злобный человечек, который требует, чтобы его выпустили. Сколько раз за сегодняшний вечер в мою жизнь вмешивался телефонный звонок. И к чему это в конце концов привело? Я чувствую себя почти несчастным. Люди должны разговаривать, глядя друг другу в глаза, чувствуя дыхание друг друга, видя мимику, жесты – все это несет несравнимо больше информации, чем просто слова. Разве Ирина, стоя передо мной, позволила бы сказать: «Мне по барабану твои проблемы!»
Я поднял трубку. Тишина.
– Что вам от меня надо? – спросил я.
И опять короткие гудки. Я взялся за провод и выдернул вилку из розетки. Так-то лучше. А теперь домой! Чай с медом – и спать! И надо будет в ближайшие дни сделать в офисе ремонт. Причем начать с кабинета Ирины. Сорвать старые обои, выкинуть столы, стулья, цветы с горшками, дурацкие календари с котятами. Все на мусорную свалку! Ирина гордая, и я тоже гордый. Рубить так рубить…
На пульт охраны позвонил уже с улицы. Какой теплый и душный вечер! Быть грозе. Да вот и всполохи на темном небе видны. Пока беззвучные, немые, словно отблески сварочного аппарата. Но пройдет час или два, и над Побережьем начнет буйствовать стихия. Потоки воды низвергнутся на город, потекут по теплому асфальту ручьи, и кинется народ в кафе, под карнизы домов, накрывая головы то сумочками, то полиэтиленовыми пакетами, то газетами, и заблестят серебром в лучах фонарей мокрые листья деревьев, и раскаты грома заглушат музыку, доносящуюся с набережной.
Не дошел я еще до своей машины, как вспомнил про злосчастное окно. Так закрыл я его или нет? Сначала один милиционер баловался с ним, давил на раму, дергал за ручки, потом другой. Может быть, я благополучно забыл о нем и оставил приоткрытым? Пришлось развернуться и обойти дом, глядя на окна первого этажа, занятого моим агентством. Двор у нас тихий, темный. Оставь канализационный люк открытым – ни за что не заметишь. Нормальные люди стараются в сумерках обходить это место стороной. Даже вездесущие бомжи не обжили плотные кусты. И уж, конечно, никакой водитель не оставит здесь на ночь свою тачку, а если сделает это, то имеет много шансов утром найти ее «раздетой». Потому-то я с удивлением заметил в плотном мраке прижавшуюся к кустам «девятку». Она была черной, как смола, плюс к этому тонированные стекла. Словом, черная кошка в темной комнате. Мне показалось, что боковое стекло, которое рядом с водителем, слегка опущено и где-то в непроглядной утробе машины, словно Марс на ночном небе, мерцает кровавый огонек сигареты.
Впрочем, я сразу забыл об этой машине. Проверив окна и убедившись, что они заперты, я вернулся к своему «Опелю». Сел за руль, запустил мотор, но некоторое время не трогался с места. Мне нравится сидеть в темном салоне машины и смотреть на светящиеся призрачным зеленоватым светом приборы. Уютно и покойно. Наверное, это напоминало далекое детство. В моей спальне стоял громоздкий старомодный приемник с широкой, обитой материей панелью. И на ней зеленым светом горел индикатор настройки. Если волна уходила, на индикаторе, словно павлиний хвост, распускался зеленый луч. Мама включала приемник по вечерам и находила тихую музыку. И я, прежде чем заснуть, подолгу смотрел на светящийся в темноте зеленый глаз, как он меняется, переливается, словно подмигивает мне.
Я медленно тронулся с места. Мне так сильно не хотелось домой, что даже силой воли я не мог заставить себя давить на педаль акселератора сильнее. Придумал повод поехать на другой конец города, на хлебопекарный завод, где можно было купить горячий лаваш. Я катился по набережной Дерекойки в правом ряду со скоростью похоронной процессии. Меня обгоняли даже старые полуживые «Запорожцы». На ветровом стекле появились отметины первых дождевых капель. Я включил магнитолу и поставил кассету Вивальди. Ирине очень нравились его концерты, особенно «Времена года». Когда звучали минорные тона осени, на ее глаза накатывали слезы. Тонкая, ранимая натура.
На площади автовокзала я развернулся и покатил в сторону набережной. У закрытых ворот центрального рынка, словно тени, бродили не то уборщики, не то бомжи. Они собирали картонные коробки, сплющивали их и складывали в стопку. Неопрятный сутулый мужчина кинул картонку под куст, опустился на колени, затем повалился на бок, скрутился калачиком, как озябшая собака, и стал неподвижен. Две девушки голосовали проходящим мимо машинам, выйдя едва ли не на середину дороги. Легковушки притормаживали, аккуратно объезжали их. Девушки прыгали от нетерпения, курили, отхлебывали из жестяных баночек.
– Эй, мужчина! – громко крикнула одна из них и пригнулась, чтобы лучше рассмотреть меня через ветровое стекло. – Жизнь слишком коротка, чтобы отказывать себе в маленьких радостях…
Я часто подвозил Ирину домой после работы. Ослепленные фарами проститутки не сразу замечали рядом со мной девушку и кидались к машине, предлагая мне свои услуги. Ирина реагировала на это со святостью и чистотой взращенного в монастыре ребенка. Она дико смущалась, и выступивший на ее щеках румянец был заметен даже в сумерках. В ее молчании угадывалось необъяснимое чувство вины передо мной, будто она хотела сказать: наверное, я помешала тебе? Наверное, ты хотел бы пригласить их в машину?
Я чуть не отдавил колесом смело выставленную ножку и, проехав мимо жриц любви, невольно посмотрел в зеркало заднего вида. Девушки кинулись на идущую следом машину, и только сейчас я увидел, что это была та же черная «девятка» с тонированными стеклами. Во всяком случае, как две капли воды похожая на ту, что стояла в нашем дворе. В ответ на предложение девушек из окна «девятки» вылетел окурок и, прочертив малиновую дугу, разбился в искры об асфальт.
Может, это та самая машина, о которой говорила Ирина? Я не слишком вник в ее слова, когда она упомянула о какой-то «девятке»; я больше прислушивался к интонации, а само предупреждение о слежке воспринял лишь как желание Ирины испортить мне настроение. Меня покоробили слова «твое агентство», и ни о чем другом я уже думать не мог.
Я прижал машину к обочине и остановился. «Девятка» проехала мимо, свернула в какой-то проулок и исчезла за углом дома. Нет, никто за мной не следит. Никому я не нужен. Что я собой представляю, чтобы за мной следить? Я не политик, не банкир, у меня нет с собой чемоданчика, набитого баксами. Я руководитель частного детективного агентства, которое по своей сути является нелегальным филиалом местного ОВД. В год у нас бывает не больше тридцати заказов, что приносит нам весьма скромную прибыль, но зато большие неприятности, где конфликты с милицией – самое обычное дело.
За строем пальм светилась витрина продуктового магазина. Надо что-то взять к ужину. Когда на душе тяжко, надо отягощать желудок. Для равновесия, чтобы к утру не перекособочило. Устрою-ка я себе развратный ужин. Возьму баночку маслин, маринованные грибы, нарезку сырокопченой колбасы, граммов сто осетрины, икорки, корейской морковки и водочки. И отпраздную свое одиночество. Одиночество – это высшая степень свободы. Бледная продавщица, одуревшая от духоты, посмотрела на меня с плохо скрытой ненавистью.
– Мужчина, – растягивая гласные, звонко сказала она, – мы водку в морозильнике не держим. Вся винно-водочная продукция на прилавке.
Бог с ней, пусть будет теплая. Пока накрою стол, бутылка успеет покрыться инеем в морозильнике. Только сейчас я почувствовал, что голоден. Завтракал я в аэропорту Беслана перед посадкой в самолет – чашечка кофе и тонкий хлебец с сыром. И больше ничего за весь день. Увесистый пакет пришлось нести двумя руками. Я уже приготовился толкнуть ногой стеклянную дверь, чтобы выйти из магазина, как высокая тоненькая девушка в кроваво-красной юбке услужливо распахнула ее передо мной. Оказывается, есть еще добрые люди на свете! Я поблагодарил девушку за порыв альтруизма и вышел из магазина. Девушка, словно голодная кошка, которая угадала в пакете сосиски, снова оказалась рядом со мной. С мольбой заглядывая мне в глаза, она пролепетала:
– Простите, пожалуйста! Мне надо срочно позвонить подруге и сказать, что я не смогу к ней приехать. Вы не могли бы дать мне на секундочку свой мобильник? Я скажу всего лишь два слова.
