Как найти запас механической энергии маятника. Свободные колебания. Математический маятник

Повторение

Полная механическая энергия тела

\(W=W_{k} +W_{p1} +W_{p2}, \; \; \; W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2}, \; \; \; W_{p1} =m\cdot g\cdot h, \; \; \; W_{p2} =\frac{k\cdot \Delta l^{2} }{2},\)

где W k - кинетическая энергия тела в данный момент времени (энергия движения), m - масса тела, υ - значение скорости тела в данный момент времени, W p 1 - потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h , в данный момент времени (энергия взаимодействия), h - высота подъема тела в данный момент времени, W p 2 - потенциальная энергия деформированного тела в данный момент времени, Δl - абсолютное удлинение тела в данный момент времени.

Если в замкнутой системе нет внешних сил (например, силы трения), то полная механическая энергия замкнутой системы сохраняется.

Математический маятник

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При колебаниях математического маятника изменяется высота h грузика относительно положения равновесия и изменяется его скорость υ (рис. 1). Причем при максимальных смещениях высота достигает максимального значения h max , а скорость становится равной нулю, в положении равновесия наоборот: высота тела равна нулю, а скорость достигает максимального значения υ max .

Так как высота тела определяет его потенциальную энергию W p \(\left(W_{p} =m\cdot g\cdot h\right),\) а скорость - кинетическую энергию W k \(\left(W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменением высоты и скорости, будут изменяться и энергии.

Обозначения в таблице:

\(W_{p\; \max } = m\cdot g\cdot h_{\max }, \; \; \; W_{p2} =m\cdot g\cdot h_{2}, \; \; \; W_{p4} =m\cdot g\cdot h_{4}, \; \; \; W_{p6} =m\cdot g\cdot h_{6},\)

Mex-majat-2-01.swf Рис. 3 Увеличить Flash

Пружинный маятник

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях горизонтального пружинного маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При колебаниях пружинного маятника изменяется абсолютное удлинение пружины Δl относительно положения равновесия (т.е. изменяется смещение грузика x = Δl ) и изменяется скорость грузика υ (рис. 3). Причем при максимальных смещениях абсолютное удлинение достигает максимального значения Δl max , а скорость становится равной нулю, в положении равновесия наоборот: абсолютное удлинение равно нулю, а скорость достигает максимального значения υ max .

Так как абсолютное удлинение пружины определяет ее потенциальную энергию W p \(\left(W_{p} =\frac{k\cdot \Delta l^{2}}{2} \right),\) а скорость - кинетическую энергию W k \(\left(W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменением абсолютного удлинения и скорости, будут изменяться и энергии.

Обозначения в таблице:

\(W_{p\; \max } =\frac{k\cdot x_{\max }^{2} }{2}, \;\;\; W_{p2} =\frac{k\cdot x_{2}^{2} }{2}, \;\;\; W_{p4} =\frac{k\cdot x_{4}^{2} }{2}, \;\;\; W_{p6} =\frac{k\cdot x_{6}^{2} }{2},\)

\(W_{k\; \max } =\frac{m\cdot \upsilon _{\max }^{2} }{2}, \; \; \; W_{k2} =\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{k4} =\frac{m\cdot \upsilon _{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{k6} =\frac{m\cdot \upsilon _{6}^{2} }{2}.\)

Полная энергия маятника сохраняется с течением времени, поскольку нет силы трения. Тогда

\(W=W_{k\, \max } = W_{p\, \max } = W_{k2} + W_{p2} = W_{k4} +W_{p4} = ...\)

Mex-majat-2-02.swf Рис. 5 Увеличить Flash

Если для вертикального пружинного маятника выбрать систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю, то все описанное выше для горизонтального маятника можно применить для данного маятника.

Литература

Жилко, В.В. Физика: учеб. Пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В.Жилко, Л.Г.Маркович. - Минск: Нар. Асвета, 2009. - С. 19-21.

Небольшой шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, способен совершать свободное колебательное движение (рис. 598).

рис. 598
Для описания движения маятника будем считать шарик материальной точкой, пренебрежем массой нити и сопротивлением воздуха. Такая модель называется математическим маятником .
В качестве координаты, описывающей положение шарика, выберем угол отклонения нити от вертикали φ . Для описания изменения этой координаты удобно использовать уравнение динамики вращательного движения

где J = ml 2 − момент инерции системы, ε = Δω/Δt − угловое ускорение тела (вторая производная от угла поворота), M − суммарный момент внешних сил действующих на систему 1 . На шарик действуют силы тяжести mg и натяжения нити. Момент силы натяжения нити N относительно точки подвеса равен нулю, поэтому уравнение (1) для подвешенного шарика приобретает вид

или

Это уравнение описывает колебания маятника, но не является уравнением гармонических колебаний, так как момент сил пропорционален синусу угла отклонения, а не самому углу. Однако, если считать углы отклонения малыми (сколько это − мы выясним позднее), можно воспользоваться приближенной формулой sinφ ≈ φ в этом приближении уравнение (3) превращается в знакомое уравнение гармонических колебаний

где Ω = √{g/l} − круговая частота малых колебаний маятника 2 . Решение этого уравнения мы уже выписывали

здесь φ o − максимальное отклонение нити, то есть амплитуда колебаний. Для простоты будем считать, что начальная скорость шарика равна нулю.
Период малых колебаний маятника выражается через круговую частоту

Так как малые колебания математического маятника являются гармоническими, то их период не зависят от амплитуды. Этот факт был экспериментально отмечен еще Г. Галилеем. При больших углах отклонения период колебаний математического маятника незначительно возрастает.
Отметим, что период колебаний математического маятника не зависит также от массы шарика − вспомните, ускорение свободного падения, а также другие характеристики движения тела в поле тяжести Земли также не зависят от массы тела (если, конечно, пренебрегать сопротивлением воздуха).
Формула (6) может быть использована и используется для экспериментального определения ускорения свободного падения. Длина нити и период колебаний достаточно просто измерить экспериментально, затем с помощью формулы (6) можно рассчитать ускорение свободного падения.
Попробуем описать движение математического маятника с помощью закона сохранения механической энергии. Кинетическая энергия шарика выражается формулой

Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии совместим с точкой подвеса нити, тогда потенциальная энергия шарика равна

Уравнения закона сохранения механической энергии (с учетом начальных условий) имеет вид

Это уравнение также не является уравнением гармонических колебаний. Но, если мы опять будем считать углы отклонения маятника малыми и воспользуемся приближенной формулой

то уравнение (7) перейдет в уравнение гармонических колебаний

или

где обозначено Ω = √{g/l} − круговая частота колебаний, совпадающая с полученной из динамического уравнения (2).
Конечно, такое совпадение не является случайным − фактически в обоих подходах мы использовали одно и то же приближение малых углов отклонения.

1 В принципе, можно использовать и уравнения динамики поступательного движения, но используемый здесь подход является предпочтительным, так как траекторией движения точки является дуга окружности.
2 Мы выбрали обозначение Ω (это тоже «омега», только заглавная) для собственной частоты малых колебаний, чтобы традиционное обозначение ω − оставить за угловой скоростью движения шарика, которая далее будет фигурировать в наших рассуждениях.

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = -mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l , то его угловое смещение будет равно φ = x / l . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x , а

Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором , т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15-20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение a τ маятника пропорционально его смещению x , взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .

Следовательно,

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

M = -(mg sin φ) d .

Здесь d - расстояние между осью вращения и центром масс C .

Рисунок 2.3.2.

Физический маятник

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален . Это означает, что только при малых углах, когда, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид

где ε - угловое ускорение маятника, I - момент инерции маятника относительно оси вращения O . Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:

Здесь ω 0 - собственная частота малых колебаний физического маятника .

Следовательно,

Более строгий вывод формул для ω 0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Это уравнение свободных гармонических колебаний.

Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции I можно выразить через момент инерции I C относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:

Окончательно для круговой частоты ω 0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

С криншот квеста про определ ить планеты

Основные понятия: затухающие колебания, свободные колебания, незатухающие колебания, вынужденные колебания, автоколебания .

Полная механическая энергия маятника E - сумма его потенциальной Е п = mgh и кинетической Е к = mυ 2 /2 энергий:

Е = Е п + Е к = mgh + mυ 2 /2. (1)

На рис.1 схематически представлено превращение потенциальной энергии математического маятника в кинетическую и наоборот.

Рис.1. Превращение энергии при колебательном движении математического маятника.

Когда маятник находится в т.А (точка, где смещение маятника от положения равновесия максимально), то его кинетическая энергия равна минимально возможному значению - нулю - Е к min = 0, а потенциальная энергия максимальна и равна E п max = mgh max . Таким образом, полная механическая энергия маятника в т.А в соответствии с (1) равна:

В точке А: Е = E п max + Е к min = mgh max + 0 = mgh max .

Когда маятник находится в какой-либо промежуточной точке между точками А (точка, где смещение маятника от положения равновесия максимально) и О (положение равновесия), то его полная механическая энергия E в соответствии с (1) равна:

В промежуточных точках: Е = Е п + Е к = mgh + mυ 2 /2 ,

Е п и Е к принимают некоторые промежуточные значения большие 0 и меньшие максимального значения: Е п = mgh < mgh max , Е к = mυ 2 /2 < mυ max 2 /2.

Когда маятник проходит точку О (положение равновесия), то его кинетическая энергия максимальна и равна Е к max = mυ max 2 /2, а потенциальная энергия в свою очередь теперь принимает нулевое значение Е п = 0:

В точке О: Е = E п min + Е к max = 0 + mυ max 2 /2 .

Таким образом, можно составить цепочку превращений одного вида энергии в другой при движении математического маятника от одной точки к другой (рис.1):

точка А -- точка N -- точка O -- точка M -- точка B --…..

E п max -- Е п + Е к -- Е к max -- Е’ п + Е’ к -- E п max -- …..

Е = Е п + Е к = mgh + mυ 2 /2 = Е к max = mυ max 2 /2 = E п max = mgh max (2)

Для пружинного маятника (рис.2) превращение энергии происходит аналогично.